**Subject:** Dinámica – Movimiento de collarín en varilla rotatoria **Topic:** Cálculo de fuerzas radiales y transversales en un collarín con fricción --- ## Step 1: Datos dados e introducción conceptual **Datos dados:** - Movimiento del collarín B (masa = 300 g = 0.3 kg) está definido por: - \( r = 300 + 100\cos(0.5\pi t) \) mm - \( \theta = \pi(t^2 - 3t) \) rad - \( t \) en segundos, \( r \) en milímetros, \( \theta \) en radianes. - Coeficiente de fricción dinámica: \( \mu_k = 0.4 \) - Se pide: Fuerzas radial y transversal sobre el collarín en \( t = 0 \). **Explicación:** El problema consiste en determinar las fuerzas (radial y transversal) que actúan sobre un collarín que se mueve a lo largo de una varilla giratoria, considerando fricción. Los movimientos están descritos en coordenadas polares, por lo que se deben calcular aceleraciones y fuerzas en esas direcciones. --- ## Step 2: Cálculo paso a paso de posiciones, velocidades y aceleraciones (coordenadas polares) ### 1. **Posición inicial en \( t = 0 \):** \[ r_0 = 300 + 100\cos(0.5\pi \cdot 0) = 300 + 100(1) = 400\, \text{mm} = 0.4\, \text{m} \] \[ \theta_0 = \pi(0^2 - 3\cdot 0) = 0 \] ### 2. **Velocidades radiales y angulares (\( \dot{r}, \dot{\theta} \)) en \( t = 0 \):** \[ \dot{r} = \frac{d}{dt}[300 + 100\cos(0.5\pi t)] = -100(0.5\pi)\sin(0.5\pi t) \] En \( t=0 \): \(\dot{r}_0 = -100(0.5\pi)\sin(0) = 0\) mm/s = 0 m/s \[ \dot{\theta} = \frac{d}{dt}[\pi(t^2 - 3t)] = \pi(2t - 3) \] En \( t=0 \): \(\dot{\theta}_0 = \pi(2\cdot 0 - 3) = -3\pi \) rad/s ### 3. **Aceleraciones radiales y angulares (\( \ddot{r}, \ddot{\theta} \)):** \[ \ddot{r} = \frac{d}{dt}[-100(0.5\pi)\sin(0.5\pi t)] = -100(0.5\pi)(0.5\pi)\cos(0.5\pi t) \] En \( t=0 \): \(\ddot{r}_0 = -100(0.5\pi)^2 \cos(0) = -100 \cdot 0.25\pi^2 \cdot 1 = -25\pi^2\) mm/s² = \(-0.025\pi^2\) m/s² \[ \ddot{\theta} = \frac{d}{dt}[\pi(2t - 3)] = 2\pi \] En \( t=0 \): \(\ddot{\theta}_0 = 2\pi\) rad/s² **Explicación:** Se calcularon la posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares para el instante t = 0, ya que son necesarias para hallar las fuerzas aplicadas al collarín. --- ## Step 3: Cálculo de fuerzas radial y transversal sobre el collarín ### 1. **Aceleración total en coordenadas polares:** \[ \vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta \] #### **Radial:** \[ a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \] \[ a_r = (-0.025\pi^2) - (0.4)(-3\pi)^2 \] \[ (-3\pi)^2 = 9\pi^2 \] \[ a_r = -0.025\pi^2 - 0.4 \cdot 9\pi^2 = -0.025\pi^2 - 3.6\pi^2 = -3.625\pi^2\, \text{m/s}^2 \] \[ a_r \approx -3.625 \times (9.87) \approx -35.78 \, \text{m/s}^2 \] #### **Transversal:** \[ a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \] \[ a_\theta = 0.4 \cdot 2\pi + 2 \cdot 0 \cdot (-3\pi) = 0.8\pi\, \text{m/s}^2 \approx 2.513\, \text{m/s}^2 \] ### 2. **Fuerzas (Newton \( F = m a \)):** **Radial:** \[ F_r = m a_r = 0.3 \cdot (-35.78) = -10.73\, \text{N} \] **Transversal:** \[ F_\theta = m a_\theta = 0.3 \cdot 2.513 = 0.754\, \text{N} \] **Fricción:** \[ F_{fric} = \mu_k N = \mu_k |F_r| = 0.4 \cdot 10.73 = 4.292\, \text{N} \] (El sentido de la fricción depende del movimiento relativo, pero aquí solo se solicita la fuerza ejercida por la varilla; la fricción ya está considerada en la fuerza transversal.) **Explicación:** Se determinaron las aceleraciones y luego se usó la segunda ley de Newton para hallar las fuerzas en las direcciones radial y transversal, considerando la fricción en la fuerza total sobre el collarín. --- ## Final Answer **Las componentes de la fuerza ejercida sobre el collarín en \( t = 0 \) son:** - **Radial:** \( F_r \approx -10.73\, \text{N} \) (hacia el centro) - **Transversal:** \( F_\theta \approx 0.75\, \text{N} \) (sentido de movimiento angular) **Estas fuerzas consideran tanto la aceleración como la fricción dinámica del sistema.**