**प्रश्न का हिन्दी में चरण-दर-चरण हल:** **प्रश्न:** एक आयत के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से 108\( \frac{1}{3} \)% अधिक है। यदि आयत का परिमाप 28 इकाई है, तो आयत की भुजाओं के बीच अंतर ज्ञात करें। --- ### **Step 1: मान और सूत्र मानना** मान लेते हैं कि आयत की लंबाई = \( l \) चौड़ाई = \( b \) आयत का परिमाप = \( 2(l + b) = 28 \) तो, \( l + b = 14 \) --- ### **Step 2: क्षेत्रफल लिखें** आयत का क्षेत्रफल = \( l \times b \) आयत का विकर्ण = \( \sqrt{l^2 + b^2} \) उस विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\sqrt{l^2 + b^2})^2 = l^2 + b^2 \) --- ### **Step 3: प्रतिशत बढ़ोतरी का समीकरण बनाएं** बताया गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल, आयत के क्षेत्रफल से 108\( \frac{1}{3} \)% अधिक है। \( 108 \frac{1}{3} \)% = \( \frac{325}{3} \)% = \( \frac{325}{300} = \frac{13}{12} \) अधिकता = \[ l^2 + b^2 = l \times b + \frac{13}{12} l \times b = \frac{25}{12} l \times b \] लेकिन दरअसल, \[ l^2 + b^2 = l \times b + 108\frac{1}{3}\% \text{ of } (l \times b) \] \[ l^2 + b^2 = l \times b + \frac{325}{300} (l \times b) \] \[ l^2 + b^2 = l \times b + \frac{13}{12} (l \times b) \] \[ l^2 + b^2 = \left(1 + \frac{13}{12}\right)l \times b = \frac{25}{12} l \times b \] --- ### **Step 4: समीकरण सुलझाएं** हमें पता है, \[ (l + b)^2 = l^2 + 2lb + b^2 \] \[ l^2 + b^2 = (l + b)^2 - 2lb \] \[ (l + b)^2 - 2lb = \frac{25}{12} lb \] \[ (l + b)^2 = \frac{25}{12} lb + 2lb = \frac{49}{12} lb \] लेकिन \( l + b = 14 \) \[ (14)^2 = \frac{49}{12} lb \] \[ 196 = \frac{49}{12} lb \] \[ lb = \frac{196 \times 12}{49} \] \[ lb = \frac{2352}{49} = 48 \] --- ### **Step 5: लंबाई व चौड़ाई ज्ञात करें** \( l + b = 14 \) \( l \times b = 48 \) मान लें, \( l \) और \( b \) आयत की दो भुजाएँ हैं। \[ x^2 - 14x + 48 = 0 \] **मूल्य निकालें:** \[ x^2 - 14x + 48 = 0 \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \times 48}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{12}{2} = 6 \] --- ### **Step 6: अंतर निकालें** \[ अंतर = 8 - 6 = 2 \] --- ### **Final Answer:** **उत्तर:** आयत की भुजाओं के बीच अंतर है **2** इकाई। **सही विकल्प:** ☑ 2