Let's solve the given problem step by step: ### 1. **Write the characteristic equation** Given: \[ y'' - 2y' + \alpha y = 0 \] The characteristic equation is: \[ r^2 - 2r + \alpha = 0 \] ### 2. **Quadratic Formula** The solutions to the characteristic equation \( ar^2 + br + c = 0 \) are: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Here, \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = \alpha \): ### 3. **Discriminant** The discriminant \( D \) is: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(\alpha) = 4 - 4\alpha \] ### 4. **Analysis based on the discriminant** #### (a) **2 distinct real solutions** This occurs when \( D > 0 \): \[ 4 - 4\alpha > 0 \implies 4 > 4\alpha \implies \alpha < 1 \] #### (b) **2 complex solutions** This occurs when \( D < 0 \): \[ 4 - 4\alpha < 0 \implies 4 < 4\alpha \implies \alpha > 1 \] #### (c) **1 repeated real solution** This occurs when \( D = 0 \): \[ 4 - 4\alpha = 0 \implies 4 = 4\alpha \implies \alpha = 1 \] --- ## **Final Answers:** - **2 distinct real solutions:**                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Let's carefully analyze the differential equation and determine for which values of \(\alpha\) the characteristic equation has the specified types of solutions. --- ### **Given Differential Equation:** \[ y'' - 2 y' + \alpha y = 0 \] ### **Step 1: Write the characteristic equation** Assuming a solution of the form \( y = e^{rt} \), substitute into the differential equation: \[ r^2 e^{rt} - 2 r e^{rt} + \alpha e^{rt} = 0 \] Dividing through by \( e^{rt} \neq 0 \): \[ r^2 - 2 r + \alpha = 0 \] This is the **characteristic equation**: \[ r^2 - 2 r + \alpha = 0 \] --- ### **Step 2: Find the discriminant \( D \)** Recall the quadratic formula for roots: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] where: \[ a=1,\quad b=-2,\quad c=\alpha \] The discriminant: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times \alpha = 4 - 4\alpha \] --- ### **Step 3: Analyze the discriminant \( D \)** The nature of roots depends on \( D \): - **\( D > 0 \):** Two distinct real roots - **\( D = 0 \):** Repeated real root - **\( D < 0 \):** Complex conjugate roots --- ### **Part A: When does the characteristic equation have 2 *distinct real solutions*?** \[ D > 0 \] \[ 4 - 4\alpha > 0 \] Divide both sides by 4: \[ 1 - \alpha > 0 \] \[ \alpha < 1 \] **Answer for Part A:** \[ \boxed{ \text{Distinct real roots when } \alpha < 1 } \] --- ### **Part B: When does the characteristic equation have **2 complex solutions**?** \[ D < 0 \] \[ 4 - 4\alpha < 0 \] Divide by 4: \[ 1 - \alpha < 0 \] \[ \alpha > 1 \] **Answer for Part B:** \[ \boxed{ \text{Complex conjugate roots when } \alpha > 1 } \] --- ### **Part C: When does the characteristic equation have **1 repeated real solution**?** \[ D = 0 \] \[ 4 - 4\alpha = 0 \] Divide by 4: \[ 1 - \alpha = 0 \] \[ \alpha = 1 \] **Answer for Part C:** \[ \boxed{ \text{Repeated real root when } \alpha = 1 } \] --- ### **Final Summary:** | Nature of Roots | Condition on \(\alpha\) | Explanation | |-------------------|-------------------------|-------------| | 2 distinct real solutions | \(\alpha < 1\) | Discriminant \( D > 0 \) | | 2 complex solutions | \(\alpha > 1\) | Discriminant \( D < 0 \) | | 1 repeated real solution | \(\alpha = 1\) | Discriminant \( D = 0 \) | --- **This completes the detailed step-by-step solution with calculations and explanations.**